پرش به مطلب اصلی

جبر خطی

Linear Algebra​

نام درس:جبر خطیمقطع:کارشناسی
پیش‌نیاز:مبانی محاسبات علمیگروه درس:تخصصی اختیاری
هم‌نیاز:نداردنوع درس:نظری
تعداد واحد:3تعداد ساعت:48
حل تمرین:دارد

سرفصل درس:

مروری بر بردارها و ماتریسها: جمع وتفریق و ضرب ماتریسها، ضرب داخلی و نرم بردارها و ماتریسها، ضرب داخلی و نرم توابع پیوسته، ماتریسهای منفرد و غیر منفرد و معکوس و متقارن و شبه متقارن، ماتریسهای مختلط و مختلط مزدوج و هرمیتی و شبه هرمیتی، یکین، نرمال، قطری – مثلثی – متعامد – مثبت معین و نیمه معین – منفی معین و نیمه معین.

دستگاه معادلات جبری خطی: معرفی دستگاه جبری خطی – روشهای حل دستگاه معادلات جبری خطی بر پایه الگوریتم های حذفی گوس – گوس جردن – محورگیری جزئی و کلی – حل دستگاه معادلات جبری خطی برپایه تجزیه ماتریسها – تجزیه LU – تجزیه چالسکی.

فضاهای برداری: مفهوم میدان – بسته بودن نسبت به اعمال جمع و ضرب – فضای برداری – زیرفضاهای برداری – زیر فضای ستونهای یک ماتریس – مفهوم اسپن – استقلال و وابستگی خطی بردارها – مفهوم پایه و بعد در فضای برداری – رتبه ماتریس – فضای پوچی ماتریسها – تبدیلات خطی – تبدیلات پرکاربرد از قبیل انتقال ، انعکاس ، تغییر مقیاس و دوران .

متعامد سازی و مساله حداقل مربعات : مفهوم متعامد سازی – تصاویر متعامد – الگوریتم گرام اشمیت – مساله حداقل مربعات و کاربرد آن در حل دستگاه معادلات ناسازگار – نحوه بدست آوردن معادلات نرمال و روش های حل آنها بصورت مستقیم با استفاده از تجزیه چالسکی و تچزیه QR - برازش داده ها با روش حداقل مربعات.

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه : مفاهیم مقدار ویژه و بردار ویژه – محاسبه مقادیر ویژه با روشهای تکراری مانند روش توانی – استفاده از روش QR - قطری سازی ماتریسها با مقادیر حقیقی و مختلط – قطری سازی ماتریسها با مقادیر ویژه تکراری.

چندجمله ای ها و توابع ماتریسی : قضیه کیلی هامیلتون – کاربرد قضیه کیلی هامیلتون برای محاسبه معکوس ماتریس – محاسبه چندجمله ای های ماتریسی – محاسبه توابع ماتریسی.

تجزیه مقادیر منفرد : مفهوم مقادیر منفرد- کاربردهای تجزیه مقادیر منفرد – تجزیه ماتریس ها براساس مقادیر منفرد – تعیین زیر فضاهای اساسی ماتریس.

منابع:

  • هافمن، ک. و کنزی، ر. (۱۴۰۱). جبر خطی. مترجم جمشید فرشیدی، مرکز نشر دانشگاهی

  • اونان، م. (۱۳۹۷). جبر خطی. مترجم علی‌اکبر محمدی‌حسن‌آبادی، مرکز نشر دانشگاهی

  • داتا، ب.، (۱۳۹۵). جبر خطی عددی و کاربردها (جلد ۱ و ۲). ترجمه دکتر فائزه توتونیان، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد

  • کرایچیان، ع. (۱۴۰۱). جبر خطی با متلب. انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد

  • Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2018). Introduction to Applied Linear Algebra: Vectors, Matrices, and Least Squares.

  • Axler, S. (2015). Linear Algebra Done Right. Springer.